Skip to content

Wyrażenia algebraiczne, liczby naturalne

Wrzesień 28, 2010

Na początek wybrałam dla was kilka nietrudnych zadań z liczb naturalnych. Większość z nich polega na wyznaczeniu liczb, między którymi zachodzą pewne zależności. Mam nadzieję że te proste zadania maturalne okażą się przydatne. A jeżeli chcecie dobrze przygotować się do matury, polecam wam portal Mega Matma – znajdziecie na nim rzetelne artykuły z teorii i ciekawe zadania.

Wyznacz trzy kolejne liczby naturalne, wiedząc, że suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby jest o 45 większa od kwadratu trzeciej.

Trzy kolejne liczby naturalne: (n-1),\ n,\ (n+1)
Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby: (n-1)^2+n^2=2n^2-2n+1
Jest większa o 45 od kwadratu trzeciej: 2n^2-2n+1=(n+1)^2+45

2n^2-2n+1=n^2+2n+46\\n^2-4n-45=0\\n=-5\ \vee \ n=9

Odrzucamy wynik ujemny.
Szukane liczby naturalne to 8,9,10.

Jeśli pewną dodatnią liczbę dwucyfrową o cyfrze jedności równej 3 pomnożymy przez liczbę powstałą z przedstawienia jej cyfr, otrzymamy 736. Jaka to liczba?

W liczbie dodatniej dwucyfrowej: liczba dziesiątek to d, liczba jedności to 3. Zatem ta liczba ma postać 10d+3, a liczba powstała z przestawienia cyfr 30+d.

Obliczmy iloczyn obu cyfr
(10d+3)(30+d)=736\\10d^2+303d+90=736\\ \begin{cases}d=-\frac{323}{10}\ \vee\ d=2\\ d>0\end{cases}\\d=2

Szukana liczba to 23.

Liczbę 181 można przedstawić jako sumę kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych. Jakie to liczby? Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie.

Dwie kolejne liczby naturalne n,\ n+1. Ich suma kwadratów ma wartość 181 n^2+(n+1)^2=181\\ \begin{cases} n=-10\ \vee \ n=9 \\ n> 0\end{cases} \\n=9

Jeżeli jeden bok kwadratu zmniejszymy o 2 dm, a drugi powiększymy ościokrotnie, to powstanie prostokąt bedzie miał pole czterokrotnie większe niż kwadrat. Oblicz pole prostokąta.

Długość boku kwadratu x, pole kwadratu x^2.
Długości boków prostokąta (x-2),\ 8x, pole prostokąta 8x(x-2) jest czterokrotnie większe od pola kwadratu.

4x^2=8x(x-2)\\ \begin{cases} x=0\ \vee \ x=4 \\ x> 0\end{cases} \\x=4

Pole prostokąta P=64dm^2.

Znajdź wszystkie liczby, ktore są nie mniejsze niż kwadrat ich połowy

Dowolna liczba naturalna n, która jest nie mniejsza niż kwadrat jej połowy
n \ge \left(\frac{n}{2}\right)^2 \\ 0 > n \ge 4 \\ n \in (1,2,3,4)

Advertisements
No comments yet

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s

%d blogerów lubi to: