Skip to content

Alianci używali matematyki przeciw czołgom

Marzec 6, 2011

Linia produkcyjna niemieckiego czołgu, zdjęcie z roku 1940, źródło Wikipedia

W trakcie drugiej wojny światowej, Alianci musieli przyznać, że niemieckie czołgi przewyższały ich własne. Zadawali więc sobie pytanie: Ile czołgów produkują Niemcy? Taka informacja pomogłaby przeciwstawić się siłom wroga. Oto, jak udało się rozszyfrować tą liczbę.

Aby rozwikłać zagadkę wysokości produkcji, Alianci początkowo korzystali z typowych metod wywiadowczych: szpiegowstwa, przechwytywania i rozkodowywania wiadomości, oraz przesłuchiwania jeńców.

Na podstawie uzyskanych informacji, Alianci wywnioskowali, że niemiecki przemysł zbrojeniowy wypuszczał około 1 400 czołgów miesięcznie od czerwca 1940 do stycznia 1942. Ale ten wynik wydawał się mocno zawyżony.

Umieśćmy tę liczbę w kontekście. Państwa osi użyły 1 200 czołgów w trakcie bitwy o Stalingrad, ośmiomiesięcznej potyczki, w której brało udział ponad milion radzieckich żołnierzy. Oznaczało to, że liczba 1 400 czołgów była prawdopodobnie dużym przeszacowaniem.

Sceptyczni wobec takiego wyniku, Alianci poszukiwali innej metody szacowania. W pewnym momencie odkryli kluczową wskazówkę: numery seryjne pojazdów.

Przerwócony niemiecki czołg przy odbudowanym moście w Houffalizo (Belgia), zdjęcie z czerwca 1945, źródło Archiwum Narodowe

Aliancki wywiad zauważył, że każdy z przechwyconych czołgów miał unikatowy numer seryjny. Po dokładnej analizie, Alianci zidentyfikowali klucz, który pozwalał umieścić każdy czołg w kolejności produkcji. Bazując na tych danych, Alianci opracowali model matematyczny, umożliwiający określenie całkowitej wysokości produkcji. Według ich obliczeń Niemcy produkowali 245 czołgów miesięcznie w okresie od lata 1940 do jesieni 1942.

Okazuje się, że metoda oparta na numerach seryjnych była bardzo dokładna. Ujawnione po wojnie niemieckie dokumenty stwierdzały, że Rzesza produkowała miesięcznie 246 czołgów – o jeden więcej niż oszacowano statystycznie i aż 80% mniej, niż oszacowano tradycyjnymi metodami.

Oto uproszczona wersja rozumowania, które doprowadziło do takiego wyniku. Całość można znaleźć na Wikipedii.

Załóżmy, że analityk wywiadu dysponuje kilkoma numerami seryjnymi przechwyconych czołgów.  Jak oszacować całkowitą liczbę czołgów?

Analitycy wpadli na pomysł, że najwyższy numer spośród przechwyconych czołgów mógł być użyty do obliczenia całkowitej liczby czołgów. Załóżmy także, że czołgi są numerowane kolejno od 1, 2, 3, …,  N gdzie N oznacza całkowitą liczbę wyprodukowanych czołgów.

Wyobraźmy sobie, że przejęto pięć czołgów z numerami seryjnymi 20, 31, 43, 78 i 92. Dysponujemy zatem próbką składającą się z pięciu elementów, o maksimum równym 92. Oznaczmy rozmiar próbki literą S a jej maksimum M. Po próbach z innymi ciągami, statystycy doszli do wniosku, że dobrym przybliżeniem liczby czołgów byłby prosty wzór: N=\frac{(M-1)(S+1)}{S}. W powyższym przykładzie wynikiem byłoby N=\frac{(92-1)(5+1)}{5}=109,2. A więc przybliżona ilość czołgów obliczona na tej podstawie wynosiłaby 109.

Znając liczbę niemieckich czołgów, Alianci dokładnie wiedzieli jakich sił użyć, by się im przeciwstawić. Uzbrojeni w tą wiedzę, zaatakowali front zachodni w roku 1944 i pokonali pojazdy opancerzone na drodze do Berlina. W ten sposób statystycy wygrali wojnę – przynajmniej w pewnym stopniu.

Źródła:

Reklamy

Płomienne fraktale, zobacz jak piękna może być matematyka

Styczeń 25, 2011

Płomienie to algorytmicznie generowane obrazy i animacje. Algorytm ich generowania stworzył Scott Draves  w 1992 roku i opublikował w sieci jako open source. Od tego czasu algorytm znacznie się rozwinął i obecnie jest powszechnie stosowany do tworzenia grafiki i efektów specjalnych. Kształty i kolory każdego obrazu określa długi ciąg liczb – swoisty kod genetyczny. Algorytm płomieni został przeniesiony do wielu narzędzi graficznych takich jak Adobe After Effects, Apophysis, Qosmic czy Gimp.

Oto kilka przykładów takich fraktali. Użytkownik Webshots.com o nicku Roger Johnston (rajahh) stworzył je przy pomocy programu Apophysis – darmowej aplikacji dla Windows umożliwiającej projektowanie i renderowanie fraktalnych płomieni.

Pokaz slajdów wymaga JavaScript.

Czytaj dalej…

Małymi krokami do zdanej matury z matematyki

Styczeń 21, 2011

Zostało sto dni do matury z matematyki i zaczynają się schody… Tematów do przerobienia nie ubywa, a do nauki zabrać się ciężko. Na szczęście, MegaMatma przygotowała takie schody do matury, które zaprowadzą Cię do sukcesu.

Mowa oczywiście o comiesięcznych arkuszach maturalnych, które są publikowane od grudnia. W tym miesiącu na MegaMatmie znajdziecie już drugi zestaw arkuszy – matura podstawowa i matura rozszerzona. Skoro już jesteś przy komputerze… zacznij rozwiązywać zadania!

Interaktywny arkusz maturalny

Czytaj dalej…

Odgadnienia

Styczeń 1, 2011

Jak wypłacić żądaną sumę nie otwierając kopert zawierających pieniądze?

W dziewięciu zaklejonych kopertach znajduje się ogółem 300 zł. Zaproponujcie, by ktoś z obecnych wymienił zupełnie dowolnie obraną przez siebie kwotę w liczbach całkowitych (oczywiście mniejszą niż 300 zł).

Zdołacie ją wypłacić nie otwierając ani jednej koperty! Niech ktoś inny następnie wymieni inną liczbę – i tę wyliczycie natychmiast bez braków lub naddatków pełnymi zamkniętymi kopertami.

Jak odliczyć daną kwotę nie otwierając kopert z pieniędzmi?

Czytaj dalej…

Cztery kolory albo nic!

Grudzień 8, 2010

Najwyżej cztery kolory…

Oto mapa Ameryki Południowej. Iloma różnymi kredkami można pokolorować planszę, aby wszystkie graniczące ze sobą państwa były różnego koloru?

AdSblanc_enfin_plutot_vert

I bardziej ogólnie, jeżeli mamy mapę, na której wszystkie kraje są połączone (bez wysp, bez kieszeni), ile kolorów potrzebujemy by ją pokolorować?

Odpowiedź nie zaskoczy nikogo, zwłaszcza że można ją znaleźć w nazwie akapitu. Wystarczą cztery kolory. Jakkolwiek skomplikowana nie byłaby mapa. Tę właściwość nazwano „Twierdzeniem o czterech barwach”.

Metodą prób i błędów, zawsze znajdziemy rozwiązanie które pasuje. Jeśli przyjmiemy, że ocean jest krajem, zaznaczymy go na zielono.

Można nawet powiedzieć więcej: w niektórych przypadkach, takich jak mapa Ameryki Południowej, potrzebujemy aż 4 kolorów. Spójrz tylko na Brazylię, Argentynę, Boliwię i Paragwaj. Ponieważ każdy z krajów posiada granicę z trzema pozostałymi, do pokolorowania mapy użyjemy co najmniej czterech kolorów.

źródło: eljjdx.canalblog.com

Czytaj dalej…

NUMB3RS

Listopad 25, 2010

Oto tłumaczenie tekstu autorstwa Alice Silverberg, wykładowcy matematyki i informatyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Irvine.

12 maja 2006 12 milionów widzów zobaczyło imię mojego kota, Ceilidh, pojawiające się na ekranie ich telewizorów. Dlaczego? Ponieważ byłam konsultantką w serialu CBS NUMB3RS a moją premią było to, że część mojej pracy, włącznie z równaniami do systemu kryptograficznego CEILIDH, nazwanego na cześć mojego kota, pojawiła się na tablicy w jednej ze scen.

W serialu Charlie, matematyk z Uniwersytetu Kalifornijskiego, pomaga rozwiązywać zagadki kryminalne swojemu bratu, agentowi FBI. Czy system CEILIDH miał cokolwiek wspólnego z fabułą odcinka?  Nie, nie specjalnie. Jak większość matematyki w NUMB3RS, to było coś, co mogłoby mieć sens, gdyby zostało przedstawione we właściwym kontekście, a nie było. Czy to ma znaczenie?

Czytaj dalej…

Czytaj z ruchu moich ust

Listopad 17, 2010

Stuknął Ci kolejny roczek i z pamięcią co raz gorzej. Zapomniałeś imiona swoich kolegów z podstawówki. Po tylu latach spaliłbyś się ze wstydu, gdybyś musiał pytać ich jak się nazywają.
Na szczęście, na zdjęciu z ostatniej klasy sprytny fotograf uchwycił Was w momencie, kiedy zaczynacie wymawiać swoje imiona. I udało Ci się znaleźć ich listę: OOM, ALDEN, EASTMAN, ALFRED, ARTHUR, LUKE, FLETCHER, MATTHEW, THEODORE, RICHARD, SHERMER, and HISSWALD.

Gotowi? Start! Początki niektórych imion mogą brzmieć bardzo podobnie…
Odpowiedź wkrótce!

Autorem łamigłówki jest Sam Loyd, amerykański szachista, autor zagadek i matematyk amator. Sama zabawa ma już ponad sto lat – jak widać, problem z zapamiętywaniem imion mamy nie od dziś.