Projekt MegaMatma.pl objęty patronatem Uniwersytetu Łódzkiego
Uniwersytet Łódzki Wydział Matematyki i Informatyki objął patronatem portal MegaMatma.pl. Patronat ma polegać na opiniowaniu materiałów zamieszczanych w portalu. Cieszę się, że tak zacna instytucja docenia wysoki poziom MegaMatmy.
Ze strony poświęconej patronatowi Uniwersytetu Łódzkiego można dowiedzieć się, że Uniwersytet zdecydował się na taki krok z kilku powodów – by poprawić poziom wiedzy kandydatów na studia, ułatwić studentom dostęp do wiedzy a przyszłym nauczycielom zapewnić rzetelne materiały do pracy.
Więcej o patronacie UniwersytetuŁódzkiego nad portalem MegaMatma.pl.
Zagadki nie z jednej beczki
Jak dobre wino dojrzewa, zależnie od gatunku, w różnych beczkach, tak też i różne „gatunki” matematyki fermentują i nabierają mocy w różnych – wyrażając się metaforycznie – beczkach. Na „beczkach” tych widnieją napisy: Arytmetyka, Algebra, Geometria, … Logika, Topologia … itd., itd., bowiem tych beczek jest ponad pięćdziesiąt. Zapraszamy więc Czytelnika na degustację. Jednak uprzedzamy, że nie sięgniemy po najwyższe gatunki, bo te dla nie przygotowanych żołądków mogłyby się okazać niestrawne, ale po gatunki proste, szerokiemu ogółowi znane.
Powyższy wstęp, jak i zagadki, które tu zaprezentuję pochodzą z książki Stanisława Kowala pod tytułem „500 zagadek matematycznych”.
1
Podaną figurę podzielić na 9 przystających do siebie i podobnych do danej figury części.
2
Ojciec powiedział swoim synom: „Dam wam do równego podziału pudełko czekoladek, jeżeli ten podział potraficie przeprowadzić w ten sposób, aby jeden z was wziął sobie 1 czekoladkę i 1/6 reszty, drugi 2 czekoladki i 1/6 część nowej reszty, trzeci 3 czekoladki i 1/6 części dalszej reszty i tak do końca, aż pudełko będzie puste.” Synowie zgodzili się i podziału dokonali. Ile czekoladek było w pudełku i ilu synów miał ojciec?
3
W ogrodzie siedziały 4 pary narzeczonych i zajadały śliwki. Andzia zjadła 2 śliwki, Beata – 3, Celina – 4, Danusia – 5. Ich narzeczeni również nie próżnowali. Andrzej zjadł tyle, co jego narzeczona, Bogumił 2 razy tyle, co jego narzeczona, Cezary 3 razy tyle, co jego narzeczona, wreszcie Damian 4 razy tyle, co jego narzeczona. Wszyscy razem zjedli 44 śliwki. Jakie są imiona par narzeczonych?
4
Po prawie trzech latach pływania, 10 lipca 1522 roku, powrócił do Santiago w Hiszpanii z pierwszej wyprawy dokoła świta statek „Victoria”, jedyny, który został z flotylli Magellana Del-Cano, a dziennik pokładowy bardzo skrupulatnie prowadził Antonio Pigafetta. Mimo skrupulatnych codziennych zapisów Pigafetty w dzienniku pokładowym dzień powrotu „Victorii” był zapisany jako środa 9 lipca, gdy w tym dniu kalendarz w Santiago wskazywał czwartek 10 lipca. Dlaczego?
5
Co to jest?
Odpowiedzi „Nie z jednej beczki”
1Rozwiązanie przedstawia rysunek
2
Najmniejsza liczba naturalna podzielna przez 6 to 6. Zatem przedostatni syn wziął 1/6 z 6 czekoladek, a ostatni pozostałe 5. Rozpiszmy:
syn nr 5 bierze: 5 (0 reszty) syn nr 4 bierze: 4 + 1 (5 reszty) syn nr 3 bierze: 3 + 2 (4 + 1 + 5 = 10 reszty) syn nr 2 bierze: 2 + 3 (3 + 2 + 10 = 15 reszty) syn nr 1 bierze: 1 + 4 (2 + 3 + 15 = 20 reszty) liczba czekoladek : 1 + 4 + 20 = 25
3
Danusia i Andrzej: 5 + 5 = 10 Celina i Bogumił: 4 + 8 = 12 Beata i Cezary: 3 + 9 = 12 Andzia i Damian: 2 + 8 = 12Dziewczęta zjadły 14 śliwek, chłopcy – 30.
4
Dlatego, że doby liczone przez Pigafettę miały nieco więcej niż 24 godziny, bowiem statek płynął na zachód, więc w tym samym kierunku, w którym porusza się słońce w swoim pozornym biegu dookoła Ziemi. W związku z tym, objechawszy dookoła Ziemię, Pigafetta zanotował o jeden dzień mniej, niż gdyby pozostawali w Hiszpanii.
5
Cyfry dla niewidomych, wynalezione przez Ludwika Braille’a (1809 – 1852). Ciemniejsze (większe) kółeczka są wypukłe. Dzięki temu możliwe jest rozpoznawanie znaków dotykiem.
Odrobina Wolframa na święta (po swiętach?)
Sekrety jajecznych wykresów możecie zgłębiać na tych stronach:
http://chickscope.beckman.uiuc.edu/explore/eggmath/
http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm
Polecam!
Wolframowe ciekawostki
Wolfram|Alpha znane jest z udostępniania ogromnej liczby informacji. Tych przydatnych i tych… mniej praktycznych. A oto kilka informacji zupełnie niepraktycznych.
Adresów IPv6 jest ponad 3 biliony razy więcej niż ziarenek piasku na ziemi.
Robiąc zakupy przez 3 godziny, spalamy 430 kalorii.
Aby okrążyć ziemię wzdłuż równika w 80 dni, trzebaby pokonywać 500 km dziennie.
Dziś są moje (marsjańskie) urodziny!
Swoją drogą, wiedzieliście, że WolframAlpha zmienia nazwę i logo?
Świętujemy dzień Pi!
Jak świętować dzień Pi? Może jedząc pyszną okrągłą PIzzę albo PIe?
Profesor Albert Einstein
(14 marca 1879 – 18 kwietnia 1955), pochodzący z Niemiec fizyk teoretyczny, pali fajkę w swoim domu w Princeton.
Na pomysł Dnia Liczby Pi wpadł fizyk Larry Shaw z muzeum nauki Exploratorium w San Francisco, gdy dowiedział się od córki, że 14 marca obchodzimy także rocznicę urodzin Einsteina.
Data 14 marca zapisywana jest w USA jako 3.14
Pomysłodawca Dnia Pi, Larry Shaw rozważał „wejście w inne wymiary poprzez ruch rotacyjny i kontemplował związek pomiędzy wyznaczaniem pi na płaszczyźnie i w sferze”, gdy wpadł na pomysł uczczenia tej zmiennej specjalnym dniem.
Gdy córka powiedziała mu, że 14 marca przypadają także urodziny Alberta Einsteina, podjął ostateczną decyzję.
Grecka litera Pi wygląda jak dwie kolumny ze Stonehenge z kładką u góry. Liczba pi jest niewymierna, to znaczy, nie można jej zapisać jako ilorazu liczb całkowitych. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe – nie ma w nim powtarzających się ciągów liczb.
Z pomocą komputerów, liczba pi została wyliczona z dokładnością do bilionowych miejsc po przecinku. Jednak większość ludzi woli przybliżać ją starym, dobrym 3,14.
W poniedziałek firma technologiczna Raytheon dostarczyła placki z jabłkami (apple pies) do szkół w promieniu 3,14 mili od jej siedziby w Massachusetts by świętować dzień Pi.
Pizzę i pie można zjeść przy akompaniamencie utworu smyczkowego autorstwa Stevena Rochen, który wykorzystuje 220 cyfr liczby pi po przecinku.
Ale nie tylko Amerykanie świętują Dzień Liczby Pi. Niemiecki serwis pi.highsign.de umożliwia internautom skomponowanie własnej piosenki pi, pozwalając na wybór instrumentów, tempa i liczby cyfr po przecinku, którą chcą zagrać.
Ale by naprawdę dobrze się zabawić w Dzień Pi, można zadzwonić na numer (253) 243-2504 w Stanach Zjednoczonych, by usłyszeć syntezator głosu odczytujący cyfry pi przed i po przecinku.
W ciągu trzech minut można usłyszeć 600 cyfr jedynej liczby, wymiernej czy niewymiernej, która posiada swoje własne święto,
Prawdopodobnie liczbę pi jako pierwszy obliczył starożytny matematyk Archimedes, a spopularyzował ją szwajcar Leonard Euler w roku 1737 – 250 lat przed zapoczątkowaniem Dnia Liczby Pi.
WolframAlpha pierwsza pomoc matematyczna
Kilka miesięcy temu przetłumaczyłam artykuł o codziennych, niekoniecznie matematycznych zastosowaniach WolframAlpha. Dziś przyszedł czas na coś poważniejszego – szkolne zastosowania tego narzędzia. Mam wrażenie, że na polskich stronach niewiele jest rzetelnych artykułów, które pomogą poruszać się po WolframAlpha. A sądząc po ilości odwiedzających mój blog w poszukiwaniu informacji o WolframAlpha, takie wiadomości są naprawdę potrzebne. Z tego powodu powstał artykuł, który opublikowałam na portalu MegaMatma. Co można w nim znaleźć? Motto z początku artykułu mówi samo za siebie:
Jeżeli matematyka jest Ci potrzebna jak kwiatek do kożucha, nie czytaj tego artykułu. Zajrzyj tylko do działu przykładów Wolfram|Alpha, a gwarantujemy, że znajdziesz wiele przydatnych zastosowań tego świetnego narzędzia. Jeżeli jednak, dla przyjemności, czy z obowiązku, masz kontakt z matematyką, ten artykuł jest dla Ciebie.
Jesteś maturzystą albo studentem? Pomożemy Ci posiąść umiejętność, z którą życie stanie się łatwiejsze.
W czym mogę pomóc?
Matematyczna pomoc w artykule obejmuje m.in. podstawowe informacje na temat interfejsu użytkownika. Na przykład: czym różni się zakładka general topic od zakładki computation? Znajdziecie tam także tłumaczenia najważniejszych komunikatów, które może zwrócić WA.
WolframAlpha to wyszukiwarka wiedzy, zatem artykuł podpowiada także jak znaleźć szukane funkcje, albo jak sformułować zapytanie o równania, pochodne, całki, granice, wykresy i wiele, wiele innych matematycznych zagadnień. Mój tekst zawiera także przydatne informacje o rozwiązywaniu zadań krok po kroku przy użyciu WolframAlpha.
Alianci używali matematyki przeciw czołgom
Linia produkcyjna niemieckiego czołgu, zdjęcie z roku 1940, źródło Wikipedia
W trakcie drugiej wojny światowej, Alianci musieli przyznać, że niemieckie czołgi przewyższały ich własne. Zadawali więc sobie pytanie: Ile czołgów produkują Niemcy? Taka informacja pomogłaby przeciwstawić się siłom wroga. Oto, jak udało się rozszyfrować tą liczbę.
Aby rozwikłać zagadkę wysokości produkcji, Alianci początkowo korzystali z typowych metod wywiadowczych: szpiegowstwa, przechwytywania i rozkodowywania wiadomości, oraz przesłuchiwania jeńców.
Na podstawie uzyskanych informacji, Alianci wywnioskowali, że niemiecki przemysł zbrojeniowy wypuszczał około 1 400 czołgów miesięcznie od czerwca 1940 do stycznia 1942. Ale ten wynik wydawał się mocno zawyżony.
Umieśćmy tę liczbę w kontekście. Państwa osi użyły 1 200 czołgów w trakcie bitwy o Stalingrad, ośmiomiesięcznej potyczki, w której brało udział ponad milion radzieckich żołnierzy. Oznaczało to, że liczba 1 400 czołgów była prawdopodobnie dużym przeszacowaniem.
Sceptyczni wobec takiego wyniku, Alianci poszukiwali innej metody szacowania. W pewnym momencie odkryli kluczową wskazówkę: numery seryjne pojazdów.
Przerwócony niemiecki czołg przy odbudowanym moście w Houffalizo (Belgia), zdjęcie z czerwca 1945, źródło Archiwum Narodowe
Aliancki wywiad zauważył, że każdy z przechwyconych czołgów miał unikatowy numer seryjny. Po dokładnej analizie, Alianci zidentyfikowali klucz, który pozwalał umieścić każdy czołg w kolejności produkcji. Bazując na tych danych, Alianci opracowali model matematyczny, umożliwiający określenie całkowitej wysokości produkcji. Według ich obliczeń Niemcy produkowali 245 czołgów miesięcznie w okresie od lata 1940 do jesieni 1942.
Okazuje się, że metoda oparta na numerach seryjnych była bardzo dokładna. Ujawnione po wojnie niemieckie dokumenty stwierdzały, że Rzesza produkowała miesięcznie 246 czołgów – o jeden więcej niż oszacowano statystycznie i aż 80% mniej, niż oszacowano tradycyjnymi metodami.
Oto uproszczona wersja rozumowania, które doprowadziło do takiego wyniku. Całość można znaleźć na Wikipedii.
Załóżmy, że analityk wywiadu dysponuje kilkoma numerami seryjnymi przechwyconych czołgów. Jak oszacować całkowitą liczbę czołgów?
Analitycy wpadli na pomysł, że najwyższy numer spośród przechwyconych czołgów mógł być użyty do obliczenia całkowitej liczby czołgów. Załóżmy także, że czołgi są numerowane kolejno od 1, 2, 3, …, N gdzie N oznacza całkowitą liczbę wyprodukowanych czołgów.
Wyobraźmy sobie, że przejęto pięć czołgów z numerami seryjnymi 20, 31, 43, 78 i 92. Dysponujemy zatem próbką składającą się z pięciu elementów, o maksimum równym 92. Oznaczmy rozmiar próbki literą S a jej maksimum M. Po próbach z innymi ciągami, statystycy doszli do wniosku, że dobrym przybliżeniem liczby czołgów byłby prosty wzór:
. W powyższym przykładzie wynikiem byłoby
. A więc przybliżona ilość czołgów obliczona na tej podstawie wynosiłaby 109.
Znając liczbę niemieckich czołgów, Alianci dokładnie wiedzieli jakich sił użyć, by się im przeciwstawić. Uzbrojeni w tą wiedzę, zaatakowali front zachodni w roku 1944 i pokonali pojazdy opancerzone na drodze do Berlina. W ten sposób statystycy wygrali wojnę – przynajmniej w pewnym stopniu.
Źródła:
Płomienne fraktale, zobacz jak piękna może być matematyka
Płomienie to algorytmicznie generowane obrazy i animacje. Algorytm ich generowania stworzył Scott Draves w 1992 roku i opublikował w sieci jako open source. Od tego czasu algorytm znacznie się rozwinął i obecnie jest powszechnie stosowany do tworzenia grafiki i efektów specjalnych. Kształty i kolory każdego obrazu określa długi ciąg liczb – swoisty kod genetyczny. Algorytm płomieni został przeniesiony do wielu narzędzi graficznych takich jak Adobe After Effects, Apophysis, Qosmic czy Gimp.
Oto kilka przykładów takich fraktali. Użytkownik Webshots.com o nicku Roger Johnston (rajahh) stworzył je przy pomocy programu Apophysis – darmowej aplikacji dla Windows umożliwiającej projektowanie i renderowanie fraktalnych płomieni.
Małymi krokami do zdanej matury z matematyki
Zostało sto dni do matury z matematyki i zaczynają się schody… Tematów do przerobienia nie ubywa, a do nauki zabrać się ciężko. Na szczęście, MegaMatma przygotowała takie schody do matury, które zaprowadzą Cię do sukcesu.
Mowa oczywiście o comiesięcznych arkuszach maturalnych, które są publikowane od grudnia. W tym miesiącu na MegaMatmie znajdziecie już drugi zestaw arkuszy – matura podstawowa i matura rozszerzona. Skoro już jesteś przy komputerze… zacznij rozwiązywać zadania!
anitx blog 